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けもフレぱびりおん誤課金防止用問題総合スレ / 8
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ふぇねっくー
Fennec-
2018/01/26 (金) 19:56:54
aからbまでの定積分を
∫［a,b］f(x)dx=［F(x)］(a,b)
と表記することにする
(証明)
0≦x≦1のとき、k＞0より
(1－x)/(k+1)≦(1－x)/(k+x)≦(1－x)/k
であり、等号は常には成り立たないから、
∫［0,1］(1－x)/(k+1)dx＜∫［0,1］(1－x)/(k+x)dx＜∫［0,1］(1－x)/kdx
すなわち、
｛1/(k+1)｝∫［0,1］(1－x)dx＜∫［0,1］(1－x)/(k+x)dx＜(1/k)∫［0,1］(1－x)dx
が成立する
ここで、
∫［0,1］(1－x)dx=［x－(1/2)x²］(0,1)=1/2
であるから、すべての自然数kに対して、
1/2(k+1)＜∫［0,1］(1－x)/(k+x)dx＜1/2k
が成り立つ
(Q.E.D.)
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